Plano de Argand-Gauss

Gabarito de Matemática sobre o tema Plano de Argand-Gauss com questões de Vestibulares.






01. (UEFS) Os números complexos z e w têm módulos |z| = |w| = 1.

Se z, w e seu produto zw formam, no plano de Argand-Gauss, os vértices de um triângulo equilátero, é correto afirmar que

  1. z é real.
  2. w = ± 1 ou w = ± i.
  3. zw é um imaginário puro.
  4. a parte real de w é positiva.
  5. z e w são complexos conjugados.

Resposta: E

Resolução:

02. (EsPCEx) Sejam z e v números complexos onde |z|=1 e v tem coordenadas no plano de Argand-Gauss ( √2 2 , √2 2 ) . Sobre o número complexo z e v (resultante da multiplicação dos complexos z e v), podemos afirmar que

  1. sempre é um número real.
  2. sempre tem módulo igual a 2.
  3. sempre é um número imaginário puro.
  4. pertence à circunferência x² + y² = 1
  5. sempre tem argumento igual a π/4

Resposta: D

Resolução:

03. (UEFS) As soluções da equação x² + bx + c = 0 são números complexos distintos que, no plano de Argand-Gauss, estão na circunferência de raio 2 centrada na origem.

Portanto, as constantes reais b e c são tais que

  1. b = 4 e −2 ≤ c ≤ 2.
  2. − 4 ≤ b ≤ 4 e c = 2.
  3. − 4 < b < 4 e c=4.
  4. − 2 ≤ b ≤ 2 e c=4.
  5. − 2 < b < 2 e − 4 < c < 4.

Resposta: C

Resolução:

04. (AFA) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z = x + yi, onde i = √-1 e cujos afixos são os pontos P(x,y )∈ IR²

Dada a equação (z − 1 + i)4 = 1, sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que

  1. apenas um deles é imaginário puro.
  2. todos podem ser escritos na forma trigonométrica.
  3. o conjugado do que possui maior argumento é 1+ 2i
  4. nem todos são números imaginários.

Resposta: C

Resolução:

05. (UEFS) No plano de Argand-Gauss, um número complexo z = x + iy, com x > 0 e y > 0, o seu conjugado e a origem dos eixos coordenados são os vértices de um triângulo equilátero.

Se |z − z| = 2, então z5 + 16z é igual a

  1. 2√3 - i
  2. 16(√3 + i)
  3. 2(1 + √3i
  4. 8
  5. 0

Resposta: E

Resolução:

06. (EEAR) Se i é a unidade imaginária, então 2i³ + 3i² + 3i + 2 é um número complexo que pode ser representado no plano de Argand- Gauss no ___________ quadrante.

  1. primeiro
  2. segundo
  3. terceiro
  4. quarto

Resposta: B

Resolução:

07. (EsPCEx) A representação geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a condição | z + 2 -3i | = | z - 1 + 4i | , com z = x + yi, sendo x e y números reais, é reta de equação

  1. 2x-3y+7=0.
  2. 3x-7y-2=0.
  3. 2x-3y+3=0.
  4. 4x-3y+3=0.
  5. 2x-y=0.

Resposta: B

Resolução:

08. (PUC-RS) Os vértices A, B e C de um triângulo são as imagens, no plano de Argand-Gauss, dos números complexos -√3 + i, √3 + i e - 2i respectivamente. Então, o valor do perímetro desse triângulo é

  1. 2√3
  2. 4√3
  3. 6√3
  4. 12
  5. 24

Resposta: C

Resolução: 6√3

09. (UEFS) Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi o matemático com maior destaque no século XIX. Dentre inúmeras contribuições de Gauss à Matemática, ele é considerado um dos primeiros matemáticos a associar números complexos a pares ordenados de números reais. (RIBEIRO, 2010. p. 278).

Três números complexos z1, z2 e z3 são tais que |z1 – z2| = 7, |z2 – z3| = 8 e |z3 – z1| = 9.

Sendo A, B e C os afixos desses números, no plano de Argand-Gauss, pode-se afirmar que a edida, em u.c. do raio da circunferência inscrita no triângulo ABC, é igual a

  1. 2√5
  2. 2√3
  3. √5
  4. √3
  5. √2

Resposta: C

Resolução: √5

10. (ITA) Sabe-se que -2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de, é igual a

  1. 4(√3 + 1)
  2. 6√3
  3. 8(√3 - 1)
  4. 10√3
  5. 12√3

Resposta: E

Resolução:

11. (PUC-RS) Foi construído, no plano de Argand Gauss, um polígono cujos vértices estão sobre as raízes do polinômio p(z) = z4 – 16 em ℂ. A área desse polígono, em unidades de área, é

  1. 64
  2. 32
  3. 16
  4. 8
  5. 4

Resposta: D

Resolução: O polinômio p(z) = z^4 - 16 pode ser escrito na forma de produto notável (a-b)(a+b), onde a = z² e b = 4, portanto, temos:

p(z) = (z²-4)(z²+4)

Note que agora o termo (z²-4) também pode ser escrito como (a-b)(a+b) onde dessa vez a = z e b = 2, então:

p(z) = (z-2)(z+2)(z²+4)

As raízes de p(z) podem ser encontradas quando p(z) = 0, e isto acontece quando:

z - 2 = 0 >>>> z = 2

z + 2 = 0 >>>> z = -2

z²+ 4 = 0 >>>> z = √-4 >>>>> z = ±2i

Os vértices são (2, 0), (-2, 0), (0, 2) e (0, -2), que forma um quadrado de lado igual a 2√2. Então a área deste polígono será igual a 8 u.m.².

12. (AFA) Considere, no plano de Argand-Gauss, os números complexos A e B , sendo A = x − 2i, x ∈ IR e B = 1 + i

Se no produto A ⋅ B tem-se Re(A ⋅ B) ≥ Im(A ⋅ B), então, sobre todos os números complexos A, é correto afirmar que

  1. seus afixos formam uma reta.
  2. nenhum deles é imaginário puro.
  3. o que possui menor módulo é o que tem o maior argumento principal.
  4. existe A tal que |A| = |B|

Resposta: C

Resolução:

13. (PUC-RS) A área da figura representada no plano de Argand Gauss pelo conjunto de pontos { z ∈ C : | z | ≤ 1 } é

  1. 1/2
  2. 1
  3. π/2
  4. π

Resposta: D

Resolução: |z|≤1

√a²+b²≤1

a²+b²≤1

x²+y²≤1

como é uma circunferência:

r²=1

r=√1

r=1u

área=r²π

área=π.(1)

área= π

14. (PUC-RS) A superfície e os parafusos de afinação de um tímpano da Orquestra da PUCRS estão representados no plano complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, centrado na origem, e por oito pontos uniformemente distribuídos, respectivamente, como mostra a figura:

Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam os lugares dos números complexos z que satisfazem a equação:

  1. z8 = i
  2. z8 = –i
  3. z8 = 1
  4. z8 = –1
  5. z8 = 1 + i

Resposta: C

Resolução: z8 = 1

15. (FGV-SP) No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado ABCD e os afixos dos números complexos Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, e Z5

Se o afixo do produto de Z0 por um dos outros cinco números complexos indicados é o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é

  1. Z1 .
  2. Z2 .
  3. Z3 .
  4. Z4 .
  5. Z5.

Resposta: B

Resolução: (Objetivo)

16. (UFSM) Uma das bibliotecas mais lindas do mundo, o Real Gabinete Português de Leitura, situa-se no Rio de Janeiro. Foi fundada pela princesa Isabel em 1887 e conta com um acervo de cerca de 350000 exemplares, dentre os quais muitas obras raras. Na claraboia da entrada, encontra-se um enorme candelabro. A fotografia a seguir mostra uma vista do candelabro.

Suponha que o candelabro tenha o formato circular de 2 metros de diâmetro com lâmpadas igualmente distribuídas nas posições Z1,Z2, •••,Z8 conforme a figura a seguir.

Além disso, se Z1,Z2, •••,Z8 representam números, complexos no plano de Argand-Gauss, então o produto de Z2 como conjugado de Z6 é

  1. ‒ 4
  2. ‒ 1
  3. ‒ 4i
  4. ‒ i
  5. i

Resposta: B

Resolução: ‒ 1

17. (EsPCEx) Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A=(1,0).

O polígono regular cujos vértices são os afixos de 4√E é

  1. BEHK.
  2. CFIL.
  3. ADGJ.
  4. BDHJ.
  5. CEIK.

Resposta: A

Resolução:

18. (FGV) Observe o plano Argand-Gauss a seguir:

Elevando-se a 2015 o número complexo indicado nesse plano Argand-Gauss, o afixo do número obtido será um ponto desse plano com coordenadas idênticas e iguais a

  1. 22015
  2. 21007
  3. 1
  4. 2–2015
  5. –21007

Resposta: B

Resolução: O número complexo indicado no plano é z = 1 – i.

Então, z2015 = (1 – i)2015 = (1– i)2014 . (1 – i) =

= [(1 – i)2]1007 . (1 – i) = (– 2i)1007 . (1 – i) =

= – 21007 . i1007.(1 – i) = – 21007 . i3 . (1 – i) =

= – 21007 . (– i) . (1 – i) = – 21007 . (– 1 – i) =

= – 21007 . (– 1) . (1 + i) = 21007 . (1 + i) =

= 21007 + 21007i

As coordenadas do afixo desse número são idênticas e iguais a 21007. (Objetivo)

19. (AFA) Considere no plano de Argand Gauss os números complexos z = A(cosα + i senα) e w = B(cosβ + i senβ) conforme gráfico abaixo.

Se w = z4 então B é igual a

  1. 12
  2. 12√3
  3. 144
  4. 144√3

Resposta: C

Resolução:

20. (UEL) Leia o texto a seguir.

Na virada do século XVIII para o século XIX, um agrimensor norueguês, Wessel (1798), e um desconhecido matemático suíço, Argand (1806), foram, aparentemente, os primeiros a compreender que os números complexos não têmnadade“irreal”. Sãoapenasospontos(ou vetores) do plano que se somam através da composição de translações e que se multiplicam através da composição de rotações e dilatações (na nomenclatura atual). Mas essas iniciativasnãotiveramrepercussãoenquantonão foram redescobertas e apadrinhadas, quase simultaneamente, por Gauss, grande autoridade daquele tempo que, já em vida, era reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

(Adaptado de: CARNEIRO, J. P. A Geometria e o Ensino dos Números Complexos. Revista do Professor de Matemática. 2004. v.55. p.18.)

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma composição de rotação dos pontos P(−3, 4) e Q(2,−3) representados pelos números complexos z = −3 + 4i e w = 2 − 3i.

  1. −18 + 17i
  2. −6 − 12i
  3. −1 + i
  4. 5 + 7i
  5. 6 + 17i

Resposta: E

Resolução: Conforme o texto apresentado na questão, os pontos se multiplicam através da composição de rotações. A questão, ao solicitar uma composição de rotação dos pontos P(−3, 4) e Q(2, −3), exige que se efetue a operação simples de multiplicação dos números complexos.

Dados os pontos P(−3, 4) e Q(2, −3) do plano Argand- -Gauss representados, respectivamente, pelos números complexos z = −3 + 4i e w = 2 − 3i, a solução é encontrada através da multiplicação dos dois números complexos: (−3 + 4i) × (2 − 3i) = (−3) × 2 + (−3) × (−3i) + (4i) × 2 + (4i) × (−3i) = − 6 + 9i + 8i − 12i² = − 6 + 17i − 12 × (−1) = − 6 + 17i + 12 = 6 + 17i

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