Polinômios
Gabarito de Matemática sobre o tema Polinômios com questões de Vestibulares.
Você pode conferir as videoaulas, conteúdo de teoria, e mais questões sobre o tema Polinômios.
1. (UEL) Considere os polinômios p(x) = -x + 1 e q(x) = x3 - x. É correto afirmar:
- Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em comum.
- O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de q(x).
- O polinômio p(x) possui uma raiz dupla.
- O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero.
- O polinômio q(x) possui uma raiz dupla.
Resposta: B
Resolução: O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de q(x).
2. (Unifor) Sabe-se que o polinômio f = 2x3 + x2 + 4x - 2 admite uma raiz racional. As outras raízes desse polinômio são números:
- divisíveis por
- fracionários
- não-reais
- primos
- irracionais
Resposta: E
Resolução: irracionais
3. (FEI-SP) Dividindo-se P(x) = 2x³ – 3x² + 8x + 3 por S(x), obtêm-se um quociente Q(x) = 2x – 1 e um resto R(x) = 3x + 5. Então S(x) é igual a:
- x² + x + 1
- x² – x + 1
- 2x² + 3x – 5
- x² + x – 2
- x² – x + 2
Resposta: E
Resolução: Dividendo = divisor x quociente + resto
p(x) = s(x).q(x) + r(x)
p(x) - r(x)/q(x) = s(x) (Eu isolei o s(x))
Agora é só substituir:
2x³ - 3x² + 8x + 3 - 3x - 5/2x - 1 = s(x)
s(x) = 2x³ - 3x² + 5x -2/2x - 1
Agora, é só efetuar a divisão de polinômios.
x² - x + 2
4. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x² P(x – 1) ≡ x3 + 2x + 2, então P(1) é igual a:
- 0
- -1
- 1
- -2
- 2
Resposta: E
Resolução: 2P(x) + x² * P(x-1) = x³ + 2x + 2
Para P(0) temos,
2P(0) + 0² * P(0-1) = 0³ + 2*0 + 2
P(0) = 1
Para P(1) temos,
2P(1) + 1² * P(1-1) = 1³ + 2*1 + 2
2P(1) + 1 = 5
Portanto,
P(1) = 2
5. (Fuvest) Seja p(x) = x4+ bx3+ cx2+ dx + e um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro raízes de p(x) são inteiras e que três delas são pares e uma é impar. Quantos coeficientes pares têm o polinômio p(x)?
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
Resposta: D
Resolução: 
06. (Fuvest) O polinômio x4+x²-2x+6 admite 1+i como raiz, onde i²=-1. O número de raízes reais deste polinômio é:
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
Resposta: A
Resolução: Esse polinômio possui todos os seus coeficientes reais. Então se 1 + i é raiz desse polinômio, então sua conjugada, ou seja, 1 - i também é raiz.
Vamos fatorar isso. Lembrando que na fatoração temos as raízes e uma equação do segundo grau.
(x - 1 - i)(x - 1 + i)(ax² + bx + c) = x4 + x² - 2x + 6
Temos uma diferença de quadrados ali. Assim...
(x² - 2x + 1 + 1)(ax² + bx + c) = x4 + x² - 2x + 6
(x² - 2x + 2)(ax² + bx + c) = x4 + x² - 2x + 6
ax4 + bx³ + cx² - 2ax³ - 2bx² - 2cx + 2ax² + 2bx + 2c = x4 + x² - 2x + 6
a = 1
b - 2a = 0 -> b - 2 = 0 -> b = 2
c - 2b + 2a = 1 -> c - 4 + 2 = 1 -> c - 2 = 1 -> c = 3
Para confirmar...
- 2c + 2b = - 2 -> - 6 + 4 = - 2 (Verdadeiro.)
2c = 6 -> c = 3 (Verdadeiro.)
Então a forma fatorada é assim:
(x - 1 - i)(x - 1 + i)(x² + 2x + 3)
Quais são as raízes dessa equação? Vamos descobrir.
∆ = 4 - 12 = - 8
x = - 2 + 8i / 2 = - 1 + 4i
ou
x = - 2 - 8i / 2 = - 1 - 4i
07. (Uel) O valor de k para que o polinômio p(x)=kx²+kx+1 satisfaça a sentença p(x) -x = p(x-1) é
- -1/2
- 0
- 1/2
- 1
- 3/2
Resposta: C
Resolução: 
08. (PUC-Rio) Considere o polinômio p(x) = x5 + bx3 + cx2 + d. Sabemos que p(0) = 1, p(1) = 0 e p(-1) = 0.
Quanto vale p(2)?
- -3
- -1
- 0
- 1
- 21
Resposta: E
Resolução:
09. (FAMECA) Assinale a alternativa correta em relação ao polinômio Q(x) = (x2018 + 1)2 + 2018.
- Q(x) possui 2018 raízes.
- Q(0) vale 2019.
- Q(x) representa uma função que possui inversa.
- O gráfico de Q(x) passa na origem do plano cartesiano.
- Q(– a) = – Q(a), ∀ a ∈ ℝ.
Resposta: B
Resolução:
10. (EsPCEx) Determine o valor numérico do polinômio p(x) = x4 + 4 x3 + 6x2 + 4x + 2017 para x=89.
- 53 213 009.
- 57 138 236.
- 61 342 008.
- 65 612 016.
- 67 302 100.
Resposta: D
Resolução: