Equações Irracionais e Biquadrada
Gabarito de Matemática sobre o tema Equações Irracionais e Biquadrada com questões de Vestibulares.
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1. (UTFPR) A equação irracional √9x − 14 = 2 resulta em x igual a:
- -2
- -1
- 0
- 1
- 2
Resposta: E
Resolução:
2. (FACESP) O conjunto solução, no campo real, da equação z4 – 13z2 + 36 = 0 é:
- S = {-3, -2, 0, 2, 3}
- S = {-3, -2, 2, 3}
- S = {-2, -3}
- S = {0, 2, 3}
- S = {2, 3}
Resposta: B
Resolução: Transformamos a equação biquadrada em uma normal de segundo grau, tendo em mente que z² = x.
x² - 13x + 36 = 0
a=1 | b=-13 | c=36
Δ = b² - 4*a*c
Δ = (-13)² - 4*1*36
Δ = 169 - 144
Δ = 25
x = (-b +- √Δ) / 2*a
x = (13 +- √25) / 2*1
x1 = (13 + 5)/2*1
x1 = 18/2
x1 = 9
x2 = (13 - 5)/2*1
x2 = 8/2
x2 = 4
Usando o conceito de que z² = x, substituímos o x e colocamos os valores encontrados e tiramos a raiz quadrada.
z² = x1
z² = 9
z = +-√9
z = +-3
z² = x2
z² = 4
z = +-√4
z = +-2
Se substituirmos os "z" por 0, irá ficar 0^4 - (13*0)² + 36, o que não dará o numero em que a expressão é igualada, vulgo 0.
Portanto, a resposta é opção A: S = {-3,-2,2,3)
3. (PUC) 
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
Resposta: B
Resolução: 
Como x > 0, a única raiz possível é 2.
Portanto, só há uma solução.
4. (Mack) 
- unicamente a raiz nula
- uma raiz real e positiva
- uma única raiz real e negativa
- duas raízes reais, sendo uma nula
- duas raízes reais e simétricas
Resposta: B
Resolução: 
5. (UECE) Se a soma e o produto de dois números são, respectivamente, dois e cinco, constata-se que
- os dois números são racionais.
- os dois números são irracionais.
- um dos números é racional e o outro é irracional.
- os dois números são complexos não reais.
Resposta: D
Resolução:
06. (UFV) Sobre a equação irracional
é CORRETO afirmar que:
- não possui raízes reais.
- possui apenas uma raiz real.
- possui duas raízes reais distintas.
- é equivalente a uma equação do 2º grau.
- é equivalente a uma equação do 1° grau.
Resposta: A
Resolução:
07. (UTFPR) Adriana e Gustavo estão participando de uma gincana na cidade de Curitiba e receberam a seguinte tarefa:
Trazer a fotografia da construção localizada na rua XV de Novembro, número N, tal que:
- 1515.
- 1296.
- 971.
- 775.
- 535.
Resposta: C
Resolução:
08. (CMRJ) Dada a equação x4 + 4x2 - 45=0, podemos afirmar que:
- tal equação possui 4 raízes reais.
- duas de suas raízes são números racionais.
- a soma das suas raízes reais é igual a −4.
- o produto das suas raízes reais é igual a −5.
- o produto das suas raízes reais é igual a −45.
Resposta: D
Resolução: Para resolver uma equação biquadrada, fazemos uma mudança de variável.
x⁴ + 4x² - 45 = 0
Fazendo x² = y, essa equação será equivalente a:
y² + 4y - 45 = 0
Agora, resolveremos essa equação do 2° grau.
Os coeficientes são: a = 1, b = 4, c = - 45.
Cálculo do discriminante:
Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4·1·(- 45)
Δ = 16 + 180
Δ = 196
x² = y
Se y = 5, temos:
x² = 5
x = ±√5
Se y = - 9, temos:
x² = - 9
x = ±√-9
Não há solução no conjunto dos números reais.
Portanto, essa equação só possui 2 raízes reais: √5 e - √5.
As quatro raízes são números irracionais, pois não podem ser escritos na forma de fração.
A soma dessas raízes reais é: + √5 + (- √5) = √5 - √5 = 0.
O produto dessas raízes reais é: (+ √5) · (- √5) = - √25 = - 5.