Análise Combinatória
Gabarito de Matemática sobre o tema Análise Combinatória com questões de Vestibulares.
Você pode conferir as videoaulas, conteúdo de teoria, e mais questões sobre o tema Análise Combinatória.
1. (Unifor) Pretende-se selecionar 4 pessoas de um grupo constituído de 3 professores e 5 alunos, para tirar uma fotografia. Se pelo menos 1 dos professores deve aparecer na foto, de quantos modos poderá ser feita a seleção?
- 65
- 70
- 330
- 1560
- 1680
Resposta: A
Resolução: Devemos selecionar 4 pessoas num grupo de 8, mas uma das pessoas selecionadas deve ser um professor-
2. (PUC-RJ) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será então:
- 364.
- 10.36³.
- 26.36³.
- 264.
- 10.264.
Resposta: C
Resolução:
3. (UFSM) Analise as afirmativas a seguir. I. O número de comissões de 3 pessoas que se pode formar num grupo de 5 pessoas é 60.
II. Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, podem-se formar 125 números de 3 algarimos.
III. A quantidade de 7 bombons iguais pode ser repartida de 6 maneiras diferentes, em duas caixas idênticas, sem que nenhuma caixa fique vazia.
Está(ao) correta(s):
- apenas I
- apenas II
- apenas I e III
- apenas II e III
- I, II e III
Resposta: D
Resolução: Na combinação simples, estudamos a contagem de todos os subconjuntos de n elementos quando estes são agrupados em subconjuntos de k elementos. A fórmula para a combinação simples é:
onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos de cada subconjunto. Analisando as afirmações:
I. Incorreta
Para n = 5 e k = 3, teremos:
C(5, 3) = 5!/(5 - 3)!3!
C(5, 3) = 5·4·3!/2·1·3!
C(5, 3) = 10
II. Correta
Para cada algarismo existem 5 possibilidades, então, o total de possibilidades é:
5×5×5 = 125 números
III. Correta
Se os 7 bombons serão repartidos em duas caixas, a soma dos bombons em cada caixa deve ser 7, onde nenhuma delas pode estar vazia, então:
1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 e 6 + 1 (6 possibilidades)
4. (Faap–Sp) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?
- 25000.
- 120.
- 120000.
- 18000.
- 32000.
Resposta: D
Resolução:
05. (EsPCEx) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra.
Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir os 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos?
- 8!
- 7·7!
- 7!
- 2·7!
- 6·7!
Resposta: E
Resolução:
6. (Ueg) A UEG realiza seu Processo Seletivo em dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa- Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuição é a seguinte:
- primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia e Matemática;
- segundo dia: História, Geografia, Química e Física.
A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por dia, de
- 1.680 modos diferentes.
- 256 modos diferentes.
- 140 modos diferentes.
- 128 modos diferentes.
- 70 modos diferentes.
Resposta: E
Resolução:
Vamos determinar a quantidade de maneiras que podemos distribuir 4 disciplinas no primeiro dia.
Observe que se a escolha para o primeiro for feita na ordem Matemática, História, Física e Química, teremos a mesma escolha se for na ordem Matemática, Física, Química e História.
Isso quer dizer que a ordem da escolha não é importante.
Dito isso, vamos utilizar a fórmula da Combinação:
C(n, k) =
Precisamos escolher 4 disciplinas entre as 8 disponíveis. Portanto:
C(8,4) = 70.
Ou seja, existem 70 maneiras.
Escolhidas as quatro disciplinas do primeiro dia, restam 4 para o segundo dia. Sendo assim, existe 1 maneira apenas para o segundo dia.
Portanto, existem 70.1 = 70 maneiras de distribuir as oito disciplinas nos dois dias.
7. (Uel) Na formação de uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um certo número de membros, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos para indicar seus membros. O partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o número de possibilidades diferentes para a composição dos membros desses dois partidos nessa CPI
- 55
- (40 - 3) . (15-1)
- [40!/(37! . 3!)]. 15
- 40 . 39 . 38 . 15
- 40! . 37! . 15!
Resposta: C
Resolução:
8. (UFMG) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?
- 70
- 35
- 45
- 55
Resposta: D
Resolução:
09. (UNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?
- 120
- 72
- 24
- 18
- 12
Resposta: C
Resolução: Seja U a urna em questão.
Conforme o enunciado, temos:
U = 4 brancas, +3 pretas, +2 vermelhas e +1 verde.
Como as quantidades de bolas de cada cor são distintas, podemos afirmar que, a ordem de escolha não importa.
Em U, há bolas 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 bola verde.
Desta maneira, os casos possíveis em que aparecem extamente uma bola de cada cor são:
C = 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24
10. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?
- 861
- 1722
- 1764
- 3444
- 242
Resposta: B
Resolução: Existem 1722 maneiras diferentes para realizar a premiação.
Esta questão está relacionada com análise combinatória. Por meio da análise combinatória, é possível estudar e definir a quantidade de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer. Dentre os métodos de análise combinatória, temos o arranjo, a permutação e a combinação, entre outros.
Nesse caso, vamos aplicar os conceitos de arranjo, pois a ordem de distribuição dos dois livros interfere no número de modos. Isso ocorre pois dar o livro A para um aluno e o livro B para outro aluno é diferente do que inverter os livros. Portanto, a quantidade de modos distintos para ocorrer a premiação é: = = 42 x 41 = 1722
11. (ACAFE) Um grupo de seis amigos, sendo dois meninos e quatro meninas, estão comemorando a formatura do Ensino Médio. O fotógrafo solicitou ao grupo que se sentasse em um banco de seis lugares e que os meninos se sentassem nas extremidades do banco.
Com essa configuração, o número de maneiras distintas que o grupo pode se sentar é de:
- 24
- 48
- 720
- 120
Resposta: B
Resolução:
12. (PUC-RS) As Resoluções do CONTRAN nº 590, de 24/05/2016, nº 279, de 06/03/2018, e nº 741, de 17/09/2018, estabeleceram um novo padrão das placas de identificação de veículos brasileiros, seguindo as regras do MERCOSUL. Segundo essas resoluções, “as Placas de Identificação Veicular [...] deverão [...] conter 7 (sete) caracteres alfanuméricos”. Assim, no Brasil, “a placa MERCOSUL terá a seguinte disposição: LLLNLNN, em que L é letra e N é número”, em substituição ao padrão pré-Mercosul, LLLNNNN.
Supondo que não haja restrição em relação aos caracteres em nenhum dos padrões apresentados, quantas placas a mais, em relação ao sistema antigo, poderão ser formadas com o novo padrão de emplacamento?
- 16
- 263 · 25 – 10³ · 9
- 260³ · 26
- 260³ · 16
Resposta: D
Resolução: Para cada letra L: 26 opções. Para cada número N: 10 opções. Assim, antes: LLLNNNN = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 x 104
Depois: LLLNLNN = 26 X 26 X 26 X 10 X 26 X 10 X 10 = 264 x 103 fazendo (depois) - (antes) = quantidade de placas a mais 264 x 103 - 263 x 104 para fazer isso vou tentar reescrever esses números de forma que fiquem mais "parecidos":
264 x 103 - 263 x 104 = 26 x (263 x 103) - 10 x (263 - 103) = 16 x (263 x 103) = 16 x (26 x 10)3 (é uma propriedade de potência)
Assim 16 x 2603, o que seria a letra D.
13. (URCA) Em quantos jogos distintos podemos organizar, em um só turno, um campeonato de futebol com 24 times?
- 1104
- 276
- 552
- 48
- 240
Resposta: B
Resolução:
14. (UNICAMP) Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado.
O número de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas é igual a
- 48.
- 72.
- 96.
- 120.
Resposta: B
Resolução: