Pirâmides
Gabarito de Matemática sobre o tema Pirâmides com questões de Vestibulares.
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01. (UEPB) A altura de um tetraedro regular que possui área total e volume numericamente iguais. é:
- 2√6
- 36
- 6
- 6√2
- 12
Resposta: E
Resolução: v=1/3 b h
a=a²raiz de 3
1/3 (b) h = a² √3
1/3 (a²√3/4) h = a² √3
a² √3 h /4 =a² √3
h/12 = 1
h=12
02. (PUC-MG) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8√2cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
- 520.
- 640.
- 680.
- 750.
- 780.
Resposta: B
Resolução:
03. (UFPR) Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma possui quantas arestas?
- 26
- 28
- 30
- 32
- 34
Resposta: C
Resolução:
04. (Mackenzie) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é 18πrd. Então o número de lados do polígono da base da pirâmide é:
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
Resposta: C
Resolução: Sabemos que a pirâmide possui n faces triangulares mais a face da base. A soma dos ângulos das faces triangulares é dada por 180n, ou πnrd. A soma dos ângulos da base será dada por 180.(n – 2), ou π(n – 2)rd. Logo:
πn + π(n – 2) = 18π ⇒ πn + πn – 2π = 18π ⇒ 2πn – 2π = 18π ⇒ 2n – 2 = 18 ⇒ n – 1 = 9 ⇒ n = 10.
Como o número de lados do polígono da base é n, esse polígono é um decágono. (Descomplica)
05. (Ita) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original?
- 2 m.
- 4 m.
- 5 m.
- 6 m.
- 8 m
Resposta: C
Resolução:
06. (Unesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será:
- 36
- 27
- 18
- 12
- 4
Resposta: D
Resolução:
07. (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a:
- 20%
- 16%
- 15%
- 12%
- 10%
Resposta: E
Resolução: O volume de concreto, em m³, necessário para a construção da pirâmide será: 12.
O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela sua altura. Sua fórmula é:
V = Ab × h / 3
Como a base da pirâmide é quadrada e sua a aresta mede 3 m, a área da base é:
Ab = 3 × 3
Ab = 9 m²
O enunciado informa que a altura da pirâmide é de 4 m. Logo:
h = 4
Substituindo as informações na fórmula do volume, temos:
V = 9 × 4 / 3
V = 36 / 3
V = 12 m³
A pirâmide é um prisma formado por segmentos de reta que têm uma das extremidades em um polígono e a outra extremidade num ponto fora desse polígono.
Assim, nem toda pirâmide tem a base quadrada, Há pirâmides com base triangular, pentagonal, hexagonal, etc.
08. (Unifor-CE) Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de altura e a aresta da base mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
- 576
- 576√3
- 1728
- 1728√3
- 3456
Resposta: A
Resolução: Volume é área da base vezes altura sobre 3.
V = A*h/3
Sabemos a altura, mas não sabemos a área da base pois não sabemos de que figura se trata. Mas a questão diz que a soma dos ângulos internos da base e das faces laterais dão um total de 1800º
Suas faces serão formadas por triângulos cujo a soma de seus ângulos internos será sempre 180, então faremos o uso da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono e multiplicaremos n(quantidade de lados) por 180 correspondente a cada face.
S = (n - 2)*180 + 180n
1800 = 180n - 360 + 180n
1800 + 360 = 360n
n = 6
Logo, a base se trata de um hexagono regular.
A area de um hexagono regular é igual a 6 vezes a area de um dos triângulos equiláteros que o formam, onde cada lado desse triângulo tem o mesmo valor da aresta, ou seja: 8
A = 6 * a²√3/4
A = 6 * 64√3/4
A = 96√3
Agora vamos aplicar oque conseguimos na fórmula do volume do prisma:
V = A*h/3
V = (96√3)(6√3)/3
V = 96*6
V = 576
09. (Unirio-RJ) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:
- H/6
- H/3
- 2H
- 3H
- 6H
Resposta: E
Resolução:
10. (Unirio-RJ) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:
- 2√7
- 3√7
- 4√7
- 5√7
Resposta: B
Resolução: R= Tem-se m triângulo retângulo. A altura é um cateto, metade da diagonal da base quadrada é o outro, e qualquer das arestas laterais é a hipotenusa:
h² + [(18√2)/2 cm]² = (15 cm)²
h² = 225 cm² - 162 cm²
h² = 63 cm²
h = 3√7 cm ≈ 12,12 cm
11. (UECE) Considere uma pirâmide regular hexagonal reta cuja medida da altura é 30 m e cuja base está inscrita em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 10 m. Desejando-se pintar todas as faces triangulares dessa pirâmide, a medida da área a ser pintada, em m², é
- 115 √39
- 150 √39
- 125 √39
- 140 √39
Resposta: B
Resolução:
12. (IFRN) Um dos mistérios da humanidade consiste em saber como as pirâmides, como as do Sol e da Lua, foram construídas por civilizações que não tinham o aporte tecnológico que há na atualidade. Para se construir, em argila, uma escultura com 15 m de altura em formato de pirâmide maciça de base quadrada com 10 m de lado, o volume do material usado foi de
- 650 m³.
- 550 m³.
- 500 m³.
- 400 m³.
Resposta: C
Resolução: Pois a área do volume da piramide é
Vp=1/3 x Abase x Altura
Vp= 1/3 x 100 x 15 = 500
13. (UERJ) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais.
Considere as seguintes medidas da pirâmide:
• altura = 9 cm;
• aresta da base = 6 cm;
• volume total = 108 cm³.
O volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³, é:
- 26
- 24
- 28
- 30
Resposta: C
Resolução:
14. (FGV-RJ) Certa empresa pretende vender amêndoas torradas em embalagens de papel com formato de pirâmides. O setor de marketing da empresa sugeriu três características para a embalagem: a base da pirâmide deve ser um quadrado, a altura deve ter o dobro do comprimento do lado do quadrado da base e o volume da embalagem deve ser de 144 cm³ para caber a quantidade ideal de amêndoas. Desprezando a espessura do papel, o comprimento do lado do quadrado da base da pirâmide que atende a especificação do marketing é
- 12 cm
- 8 cm
- 9 cm
- 6 cm
- 10 cm
Resposta: D
Resolução:
15. (PUC-PR) Com 2M kg de alumínio foram construídos dois pequenos sólidos maciços – um cubo e uma pirâmide quadrangular regular – cada um deles com exatamente Mkg de massa de alumínio, e apenas alumínio.
Sabendo que cada aresta do cubo mede 0,075 m que uma aresta da base da pirâmide tem comprimento igual à medida de uma diagonal do cubo e que a altura da pirâmide mede h dm é CORRETO afirmar que
- h = 0,75
- h = 1,125
- h = 0,25
- h = 0,375
- h = 2,25
Resposta: A
Resolução:
16. (UFN) Muitos dos torcedores que se deslocarão para Moscou com o objetivo de assistir à Copa do Mundo, de 2018, farão uma escala em Paris. Um dos lugares mais visitados desta cidade francesa é o Museu do Louvre.
A pirâmide de vidro, na entrada do Museu do Louvre, em Paris, foi construída em 1984, com 24 m de altura e uma base quadrada com 18 m de apótema. Supondo que, por questão de economia, as dimensões do apótema da base e da altura da pirâmide fossem reduzidas à metade, sobre as novas medidas da pirâmide, seria correto afirmar que:
I. A área lateral ficaria reduzida pela metade.
II. A área total ficaria reduzida à quarta parte.
III. O volume ficaria reduzido à oitava parte.
Está(ão) correta(s)
- apenas II.
- apenas I e II.
- apenas I e III.
- apenas II e III.
- I, II e III.
Resposta: D
Resolução: apenas II e III.
17. (UECE) A medida da altura de uma pirâmide é 10 m e sua base é um triângulo retângulo isósceles cuja medida da hipotenusa é 6 m. Pode-se afirmar corretamente que a medida do volume dessa pirâmide, em m³, é igual a
- 30.
- 60.
- 15.
- 45.
Resposta: A
Resolução:
18. (UFPR) Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, possui quantas arestas?
- 26.
- 28.
- 30.
- 32.
- 34.
Resposta: C
Resolução:
19. (UECE) Se a soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide (incluindo a base) é 3600 graus, então, a base da pirâmide é um polígono com
- 9 lados.
- 10 lados.
- 11 lados.
- 12 lados.
Resposta: C
Resolução: Analisando a soma dos ângulos das faces, temos que, a base da pirâmide é um polígono com 11 lados.
Soma dos ângulos
Vamos denotar por n a quantidade de lados do polígono da base da pirâmide descrita. Temos que, cada aresta da base está associada a uma face triangular da lateral da pirâmide, como cada triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a 180 graus, temos que, as faces triangulares possuem a soma dos ângulos igual a:
180 * n
Somando a soma dos ângulos internos da base da pirâmide a esse resultado, temos que:
180 * n + (n - 2) * 180 = (2n - 2)180 = 360(n - 1)
Observe que utilizamos a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono com n lados na igualdade acima. Igualando essa soma a 3600 graus, podemos escrever:
360(n - 1) = 3600 -> n - 1 = 10 -> n = 11
20. (ACAFE) Uma peça de madeira tem a forma de uma piramide hexagonal regular com 21 cm de altura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8/27 do volume da pirâmide original.
A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número:
- fracionário.
- primo.
- múltiplo de 3.
- quadrado perfeito.
Resposta: B
Resolução: