Cônicas: (Elipse Hipérbole e Parábola)

Gabarito de Matemática sobre o tema Cônicas: (Elipse Hipérbole e Parábola) com questões de Vestibulares.


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01. (UEA) Considere as equações I, II e III.

(I) x + y + 3 = 0

(II) x2 + 2y + 2 = 0

(III) x2 + y2 – 5 = 0

No plano cartesiano, as representações gráficas das equações I, II e III correspondem, respectivamente, a

  1. circunferência, parábola e reta.
  2. parábola, reta e circunferência.
  3. reta, circunferência e parábola.
  4. circunferência, reta e parábola.
  5. reta, parábola e circunferência.

Resposta: E

Resolução: reta, parábola e circunferência.

02. (UFF) As equações y – 2x = 0, y + x² = 0 e y² – x² + 1 = 0 representam no plano, respectivamente:

  1. uma reta, uma hipérbole e uma parábola.
  2. uma parábola, uma hipérbole e uma reta.
  3. uma reta, uma parábola e uma elipse.
  4. uma elipse, uma parábola e uma hipérbole.
  5. uma reta, uma parábola e uma hipérbole.

Resposta: E

Resolução: uma reta, uma parábola e uma hipérbole.

03. (IME) Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 450 no sentido anti-horário em torno da origem.

A equação dessa hipérbole após a rotação é:

  1. xy = 2
  2. x² + xy − y² = 4
  3. x² − y² = 2
  4. xy = −2
  5. x² − y² = −2

Resposta: A

Resolução:

04. (UFAM) Os pontos A(4, 0) e B(0, 6) são extremos de um diâmetro da circunferência. Então, a equação reduzida da circunferência é:

  1. x² + y² – 6x – 4y = 0.
  2. x² + y² – 4x – 6y = 0.
  3. x² + y² + 4x – 6y = 0.
  4. x² + y² + 4x + 6y = 0.
  5. x² + y² – 6x + 4y = 0.

Resposta: B

Resolução: RESOLUÇÃO:

A (xA = 4 e yA = 0)

B (xB = 0 e yB = 6)

xK = (xA + xB)/2 = (4 + 0)/2 = 4/2 = 2

yK = (yA + yB)/2 = (0 + 6)/2 = 6/2 = 3

K ponto médio (xK = 2 , yK = 3)

CÁLCULO DO RAIO

r² = (xA - xK)² + (yA - yK)²

r² = (4 - 2)² + (0 - 3)²

r² = (2)² + (- 3)²

r² = 4 + 9

r² = 13

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA:

(x - xK)² + (y - yK)² = r²

(x - 2)² + (y - 3)² = 13

x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 13

x² + y² - 4x - 6y + 13 = 13

x² + y² - 4x - 6y = 13 - 13

x² + y² - 4x - 6y = 0

05. (PUC-Rio) Considere as parábolas de equações y = -x² e y = x² - 12x + 16.

Qual é a equação da reta que passa pelos dois pontos de interseção entre as parábolas?

  1. y = -6x + 8
  2. y = -12x +16
  3. y = 2x +4
  4. y = 16
  5. y = 2√5x + 16

Resposta: A

Resolução: y = -6x + 8

06. (FGV) Sendo “m” o maior valor real que x pode assumir na equação analítica (x – 2)² + 4(y + 5)² = 36 e “n” o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, m+n é igual a:

  1. 8.
  2. 7.
  3. 6.
  4. 4.
  5. 3.

Resposta: C

Resolução:

07. (Enem 2017) O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade v de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p + a) (v + b) = K, com a, b e K constantes.

Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:

O fisioterapeuta analisou a dependência entre v e p na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (p; v). Admita que K > 0.

Disponível em: http://rspb.royalsocietypublishing.org. Acesso em: 14jul. 2015 (adaptado).

O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo

  1. semirreta oblíqua.
  2. semirreta horizontal.
  3. ramo de parábola.
  4. arco de circunferência.
  5. ramo de hipérbole.

Resposta: E

Resolução:

08. (UFPI) O gráfico da equação x² – y² = 4 representa uma hipérbole. Os focos dessa hipérbole são:

  1. (½ , 0) e (-½ , 0).
  2. (2 , 0) e (-2 , 0).
  3. (2√2 , 0) e (-2√2 , 0).
  4. (0 , √2) e (0 , -√2).
  5. (0 , ½) e (0 , -½).

Resposta: C

Resolução: (2√2 , 0) e (-2√2 , 0).

09. (Unicamp) A parábola 𝑦 = −𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 intercepta o eixo 𝑥 nos pontos (𝑝, 0) e (𝑞, 0). Sabe-se que ela intercepta uma única vez cada uma das retas dadas pelas equações 𝑦 = 2𝑥 + 1 e 𝑦 = 1 -𝑥/-2.

O valor de 𝑝 + 𝑞 é:

  1. 2/3.
  2. 3/4.
  3. 4/3.
  4. 3/2.

Resposta: B

Resolução:

10. (UFRN) O conjunto dos pontos P = (x,y), que estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e do eixo ox, no plano cartesiano xy é

  1. a parábola de equação y = (x²/2) + 4.
  2. a parábola de equação y = (x²/4) + 1.
  3. a parábola de equação y = 4x² +1.
  4. a parábola de equação y = 2x² +1.

Resposta: B

Resolução: a parábola de equação y = (x²/4) + 1.

11. (PUC-Rio) Considere as duas parábolas de equações y = x² – 7x – 13 e y = x² + 9x + 17. Sejam P0 e P1 os dois pontos de interseção entre as parábolas.

Qual é a equação da reta que passa por P0 e P1?

  1. y = x + 2
  2. y = 8x + 15
  3. y = –13x – 17
  4. y = 2 x² –15x – 28

Resposta: A

Resolução:

12. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores?

  1. 4 m
  2. 6 m
  3. 8 m
  4. 10 m
  5. 12 m

Resposta: E

Resolução: Explicação passo-a-passo:

Toda elipse é dada pela equação:

(x-xc)²/a² + (y-yc)²/b² = 1

Onde xc e yc são as coordenadas do centro da elipse. Vou considerar que o centro da elipse fica no 0,0 para facilitar nossas contas:

x²/a² + y²/b² = 1

E os valores "a" e "b" são respectivamente, o semi-eixo maior e o semi-eixo menor.

Nesta questão ela dispõe de 20 m de comprimento, ou seja, a distancia de uma ponto a outro não pode ser maior que 20 m, então como o semi-eixo maior é metade da distancia de um ponto a outro, então "a" = 10m.

A mesma analise será feita para "b", considerando que a largura é 16 m, então "b" = 8 m.

Em elipses existe ainda o valor "c" que é a distancia do centro da elipse ao foco, e temos a seguinte relação para "c":

a² = b² + c²

E como já sabemos "a" e "b":

10² = 8² + c²

100 = 64 + c²

c² = 36

c = 6

Então a distancia de um dos focos ao centro é 6m, então a distancia de um foco a outro é duas vezes essas distancia,

12 m.

Assim os aspersores estão 12m de distancia um do outro.

13. (PUC-Rio) As parábolas de equações y = x² - 5x + 6 e y = -x² + bx + c interceptam–se em dois pontos, ambos pertencentes à reta de equação y = 2x

Assinale o valor de b

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
  5. 11

Resposta: D

Resolução: 9

14. (UFAM) Os pontos A(4, 0) e B(0, 6) são extremos de um diâmetro da circunferência. Então, a equação reduzida da circunferência é:

  1. x² + y² – 6x – 4y = 0
  2. x² + y² – 4x – 6y = 0
  3. x² + y² + 4x – 6y = 0
  4. x² + y² + 4x + 6y = 0
  5. x² + y² – 6x + 4y = 0

Resposta: B

Resolução: Explicação passo-a-passo:

RESOLUÇÃO:

A (xA = 4 e yA = 0)

B (xB = 0 e yB = 6)

xK = (xA + xB)/2 = (4 + 0)/2 = 4/2 = 2

yK = (yA + yB)/2 = (0 + 6)/2 = 6/2 = 3

K ponto médio (xK = 2 , yK = 3)

CÁLCULO DO RAIO

r² = (xA - xK)² + (yA - yK)²

r² = (4 - 2)² + (0 - 3)²

r² = (2)² + (- 3)²

r² = 4 + 9

r² = 13

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA:

(x - xK)² + (y - yK)² = r²

(x - 2)² + (y - 3)² = 13

x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 13

x² + y² - 4x - 6y + 13 = 13

x² + y² - 4x - 6y = 13 - 13

x² + y² - 4x - 6y = 0

15. (PUC-Rio) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² – 1 é:

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Resposta: C

Resolução: O ponto de intersecção será aquele em que as duas parábolas possuem o mesmo valor de x e y.

Portanto, para encontrar ele podemos igualar a expressão das duas:

expressão de uma = expressão da outra

x² = 2x² - 1

Agora, desenvolvemos o cálculo para encontrar o valor/valores de x que assume essa situação:

x² = 2x² - 1

1 = 2x² - x²

1 = x²

x = ±

x¹ = 1

x² = -1

Já que sabemos os valores de x, encontramos os valores de y:

x¹ = 1

y = x²

y = 1²

y = 1

x² = -1

y = x²

y = -1²

y = 1

Os dois pontos em que as parábolas se encontram são:

Ponto 1 (1, 1)

Ponto 2 (-1, 1)

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