Números Complexos
Gabarito de Matemática sobre o tema Números Complexos com questões de Vestibulares.
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1. (Unesp-SP) Se z = (2 + i) ∙ (1 + i) ∙ i, então z, o conjugado de z, será dado por
- −3 − i
- 1 − 3i
- 3 − i
- −3 + i
- 3 + i
Resposta: A
Resolução:
2. (PUC) Na soma S = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5, onde i = √ –1, o valor de S é:
- 2 – i
- 1 – i
- 2 + i
- 1 + i
Resposta: D
Resolução: i² = (√-1)² = -1
i³ = i . i² = - 1. i = - i
i⁴ = i² . i² = (-1). (-1) = 1
i⁵ = i . i⁴ = i. 1 = i
Vamos agora calcular o valor de S:
S = 1 + i + i² + i³ + i⁴ + i⁵
S = 1 + i - 1 - i + 1 + i
S = 1 + i
3. (Cefet – MG) O valor da expressão quando x = i (unidade imaginária) é:
- (i + 1)
- – (i – 1)
Resposta: B
Resolução: O valor da expressão x² - 1 / x³ - 1 quando x = i é 1 - i.
Para responder essa questão, precisamos considerar que:
números complexos abrangem números que podem ser escritos na forma z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte fracionária;
a soma de números complexos é feita ao somar todas as partes reais e todas as partes imaginárias separadamente;
a multiplicação de números complexos é feita pela propriedade distributiva, lembrando que i² = -1;
Quando x = i, temos:
(i² - 1)/(i³ - 1)
Temos que i² = -1 e i³ = -i, logo:
(-1 - 1)/(-i - 1)
Multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
(-2)/(-i - 1) × (i - 1)/(i - 1)
= (2 - 2i)/((-1)² - (-i)²)
= (2 - 2i)/(-i² + 1)
= (2 - 2i)/(-(-1) + 1)
= (2 - 2i)/2
= 1 - i
4. (UFRS) Qual é a forma a + bi do número complexo a seguir?
Resposta: B
Resolução: (1 + 2i) (1 + i)
z = ----------- . ---------
(1 - i) (1 + i)
1 + i + 2i + 2i²
z = --------------------
1 - i²
1 + 3i + 2(-1)
z = -------------------
1 - (-1)
1 + 3i - 2
z = ---------------
1 + 1
- 1 + 3i
z = ------------
2
- 1 + 3 i
z = ------------------
2
5. (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i e t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o produto x.y é
- 6
- 4
- 3
- –3
- –6
Resposta: D
Resolução: O produto x.y é igual a 3.
De acordo com o enunciado, os números complexos z = 2x - 3i e 2 + yi são iguais. Então, temos que:
2x - 3i = 2 + yi.
Para compararmos dois números complexos, precisamos comparar as partes reais e as partes imaginárias.
Considere que z' = a + bi e z'' = c + di são dois números complexos. Então, z' = z'' se a = c e b = d.
No caso da igualdade 2x - 3i = 2 + yi e seguindo o raciocínio acima, temos que:
2x = 2 e -3 = y.
De 2x = 2 obtemos que x = 1.
Como queremos o produto entre x e y, então podemos concluir que x.y é igual a:
x.y = 1.(-3)
x.y = -3.
6. (CESGRANRIO-RJ) O módulo do complexo z, tal que z2 = i, é
- 0
- (√2)/2
- 1
- √2
- 2
Resposta: C
Resolução: 1
7. (MACK-SP) Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da equação Ī = I2 é:
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
Resposta: E
Resolução: Se I é complexo então I=a+bi,com a,b ∈ R.Desta maneira, Ī=a-bi.
Ī=I² => a-bi=(a+bi)² => a-bi=a²+2abi+b²i² => a-bi=a²+2abi-b²,pois i² = -1
Por identidade de polinômios,inferimos que:
I.a=a²-b²
II.-bi=2abi => 0=bi(2a+1) <=> b=0 ou a = -1/2
Para b=0,veja que:
a=a² => a²-a=0=> a(a-1)=0 <=> a=0 ou a=1
Já para a = -1/2:
-1/2=(-1/2)²-b² => -1/2=1/4-b² => -2=1-4b² <=> b=√3/2 ou b = -√3/2
Portanto,o conjunto de pares ordenados que satisfazem a equação é S tal que:
S={(0,0),(1,0),(-1/2,√3/2),(-1/2,-√3/2)}
8. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
- 5
- 6
- 7
- 8
- 10
Resposta: B
Resolução:
Para que seja um imaginário puro, m deve ser 6.
9. (FESP/UPE) Seja z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
- 16
- 161
- 32
- 32i
- 32 + 16i
Resposta: A
Resolução: 16
10. (UEFS) A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
- √13
- √7
- 13
- 7
- 5
Resposta: A
Resolução: √13