Binomio de Newton
Gabarito de Matemática sobre o tema Binomio de Newton com questões de Vestibulares.
1. (Faap-SP) O sexto termo do desenvolvimento de (x + 2)8 pelo binômio de newton é:
- 48x3
- 10752x3
- 1792x3
- 3584x3
- 112x3
Resposta: C
Resolução: 1792x3
2. (MACK-SP) Um dos termos do desenvolvimento de (x + 3a)5 é 360x3. Sabendo que a não depende de x, o valor de a é:
- ±1
- ±2
- ±3
- ±4
- ±5
Resposta: B
Resolução: ±2
3. (UFC) O coeficiente de x15 no desenvolvimento de (x2 + x-3)15 é:
- 455
- 500
- 555
- 643
- n.d.a
Resposta: A
Resolução: Aprenda o jeito certo de escrever no fórum ----> (x² + x^-3)^15
Tp+1 = C(15, p)*[(x^-3)^p]*(x²)^(15-p)
Tp+1 = C(15, p)*(x^-3p)*x^(30-2p)
Tp+1 = C(15, p)*x^(30-5p)
Devemos ter x^(30 - 5p) = x^15 ----> 30 - 5p = 15 ----> 5p = 15 ----> p = 3
T3+1 = C(15, 3)*x^15
T4 = C(15, 3)*x^15
C(15, 3) = 15!/3!*12! = 15*14*13*12!/6*12! = 455
4. (UNESP) Se n é um número inteiro positivo, pelo símbolo n! subentende-se o produto de n fatores distintos, n . (n – 1) . (n – 2) … 2 . 1. Nestas condições, qual é o algarismo das unidades do número (9!8!)7!?
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
Resposta: A
Resolução: 9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1 -> Veja que dentre os fatores desse produto existe um 5 e um 2. O produto de 2 por 5 é 10. Desta forma:
9!=9.8.7.6.4.3.1.10 -> Assim, sem fazer todas as outras multiplicações você sabe que o resultado terá no algarismo da unidade o 0. Qualquer número multiplicado por 10 terá como algarismo da unidade o 0.
É claro que você pode simplesmente utilizar uma calculadora: 9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362880
O mesmo ocorre com o 8!:
8!=8.7.6.5.4.3.2.1 = 8.7.6.4.3.1.10
E novamente o produto de 9! por 8! também terá o 0 no algarismo das unidades, pelo mesmo motivo. Não importa quantas vezes você multiplique, sempre terá como resultado um número com o 0 no algarismo da unidade.
5. (UF. VIÇOSA) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
- 5
- 6
- 10
- 3
- 4
Resposta: E
Resolução: Podemos concluir que a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625, portanto o valor de m é de 4
Vamos aos dados/resoluções:
(2x+3y)^m = 625, certo?
agora substitua o X e o Y por 1;
Ficando agora (2.1+3.1)^m = 625;
podemos analisar agora que a soma deu (5)^m = 625;
agora eleve o 5 até chegar ao resultado, que no caso é 5^4 = 625;
Finalizando então podemos perceber que o m = 4.
06. (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é:
- 64
- 60
- 12
- 4
- 24
Resposta: B
Resolução: 60
07. (UNIFOR-CE) Seja o binômio (kx + y)8, no qual k é um número real maior do que 1. Se o coeficiente do quarto termo do desenvolvimento desse binômio, segundo as potências decrescentes de x, é igual a 1792, então k é igual a
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
Resposta: A
Resolução: 2
08. (UFU) O coeficiente de x5 no desenvolvimento de (√x + 3√x)12
- 1
- 66
- 220
- 792
- 924
Resposta: E
Resolução: 
09. (PUC-RS) Se o terceiro termo do desenvolvimento de (a + b)n é 21.a5 .b2, então o sexto termo é
- 35.a4.b3
- 21.a3.b4
- 21.a2.b5
- 7.a.b6
- 7.a2.b5
Resposta: C
Resolução: Pelo triângulo de pascal, percebemos que se trata de (a+b)^7.
Assim, o sexto termo é 21 também, e os expoentes de a e b são 2 e 5, respectivamente.
10. (UEPB) A soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (x + y)n é:
- 6n
- n2
- 2n + 1
- 2n
- n!
Resposta: D
Resolução: (x + y)ⁿ ⇒ (1x + 1y)ⁿ ⇒ (1 + 1)ⁿ ∴ 2ⁿ