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Sequências

Lista de 11 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema Sequências com questões do ITA/IME.



1. (ITA 2019) Considere as seguintes afirmações:

É(são) VERDADEIRA(S)

  1. apenas I.
  2. apenas I e II.
  3. apenas I e III.
  4. apenas II e III.
  5. todas.

2. (ITA 2018) Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão 1 2 e o termo independente de

é igual a 7920, então a + b é

  1. 2.
  2. 3.
  3. 4.
  4. 5.
  5. 6.

3. (IME 2011) São dados os pontos P0 e P1 distantes 1 cm entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos Pn, para todo n inteiro maior do que um, de forma que:

• o segmento Pn P(n - 1) é 1 cm maior do que o segmento P(n – 1) P(n – 2); e

• o segmento Pn P(n - 1) é perpendicular a P0P(n – 1)

Determine o comprimento do segmento P0 P24.

  1. 48
  2. 60
  3. 70
  4. 80
  5. 90

4. (ITA 2018) Uma progressão aritmética (a1, a2, . . ., an) satisfaz a propriedade: para cada n ∈ N, a soma da progressão é igual a 2n2 + 5n. Nessas condições, o determinante da matriz

  1. −96.
  2. −85.
  3. 63.
  4. 99.
  5. 115.

5. (ITA 2017) Sejam a, b, c, d ∈ R. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d−140 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d − b é

  1. −140.
  2. −120.
  3. 0.
  4. 120.
  5. 140.

6. (IME 2016) Sejam uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, ...) e uma progressão geométrica (b1, b2, b3, b4, …) de termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, com q > 2 e b1 > 0. Sabe-se, também, que a1+b2=3, a4+b3=26. O valor de b1 é:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

7. (ITA 2015) Seja (a1, a2, a3, . . .) a sequência definida da seguinte forma: a1 = 1, a2 = 1 e an = an−1 + an−2 para n ≥ 3. Considere as afirmações a seguir:

I. Existem três termos consecutivos, ap, ap+1, ap+2, que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.

II. a7 é um número primo.

III. Se n é múltiplo de 3, então an é par.

É (são) verdadeira(s)

  1. apenas II.
  2. apenas I e II.
  3. apenas I e III.
  4. apenas II e III.
  5. I, II e III.

8. (IME 2014) A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1. Determine a razão da primeira progressão aritmética.

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
  5. 11

9. (IME 2013) Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus quadrados é S2. Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da equação x² − S1x + (S2 - 1/2) = 0. A razão desta PA é

  1. 1/6
  2. √6/6
  3. √6
  4. √6/3
  5. 1

10. (ITA 2013) Considere a equação em que a soma das raízes é igual a −2 e os coeficientes a0, a1, a2, a3, a4 e a5 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a0 = 1. Então é igual a

  1. -21
  2. - 2 3
  3. 21 32
  4. 63 32
  5. 63

11. (IME 2012) Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica com razão r e q, respectivamente, onde r e q são números inteiros. O número 3 e o número 192 participam destas duas progressões. Sabe-se que o terceiro termo de ( 1 + 1 q ) 8 , em potências crescentes de 1 q , é r 9q . O segundo termo da progressão aritmética é

  1. 12
  2. 48
  3. 66
  4. 99
  5. 129


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