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Polinômios

Lista de 17 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema Polinômio com questões do ITA/IME.



1. (ITA 2019) Seja p(x) = x³ + ax² + bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar que a soma das raízes de p(x) é igual a

  1. 9.
  2. 8.
  3. 3. 9 2
  4. 10.

2. (ITA) Considere o polinômio complexo p(z) = z4+a z³+5 z²−i z−6, em que a é uma constante complexa. Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, as outras três raízes são

  1. − 3i, −1, 1.
  2. − i, i, 1.
  3. − i, i, −1.
  4. − 2i, −1, 1.
  5. − 2i, −i, i.

3. (ITA 2013) A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação

é igual a

  1. 8.
  2. 12.
  3. 16.
  4. 18.
  5. 20.

4. (ITA 2015) Seja p o polinômio dado por p(x) = x8 + xm − 2xn , em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as seguintes afirmações:

I. x = 0 é uma raiz dupla de p.

II. x = 1 é uma raiz dupla de p.

III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.

Destas, é (são) verdadeira(s)

  1. apenas I.
  2. apenas I e II.
  3. apenas I e III.
  4. apenas II e III.
  5. I, II e III.

5. (ITA 2015) Considere o polinômio p dado por p(x) = 2x³ + ax² + bx−16, com a, b ∈ R. Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, então o valor de b − a é igual a

  1. −36.
  2. -12
  3. 6.
  4. 12.
  5. 24.

6. (IME 2015) Seja P(x) = x² + ax + b. Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor a e b

  1. P(–1) P(1) < 0
  2. P(–1) P(1) = 0
  3. P(−1) + P(1) = 2
  4. P(0)P(1) = 0
  5. P(0) + P(1)= 0

7. (ITA 2014) Considere os polinômios em x ∈ R da forma p(x) = x5 + a3x³ + a2x² + a1x. As raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão aritmética de razão 1 2 quando (a1, a2, a3) é igual a

  1. ( 1 4 , 0, 5 4 )
  2. ( 1 4 , 1, 5 4 )
  3. ( 1 4 , 0 , - 3 5
  4. ( 5 4 , 0, 1 4 )
  5. ( 1 4 , -1 , - 1 4

8. (ITA - 2018) As raízes do polinômio 1 + z + z² + z³ + z4 + z5 + z6 + z7, quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja área é

  1. 2 - 1 2
  2. 2 + 1 2
  3. 2
  4. 3 2 + 1 2
  5. 3 2

9. (ITA) O resto da divisão do polinômio P(x) = x100 pelo polinômio D(x) = x² – x é igual a

  1. 0
  2. 1
  3. –x
  4. x
  5. 2x

10. (ITA) Dividindo o polinômio P(x) = x³+x²+x+1 pelo polinômio Q(x) obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x+ 1. O polinômio Q(x) satisfaz:

  1. Q(2) = 0
  2. Q(3) = 0
  3. Q(0) é não nulo
  4. Q(1) é não nulo
  5. nda

11. (ITA) Sejam a, b, c e d as raízes (nos complexos) do polinômio x² + 6x² + 4x + 2. Encontre um polinômio P(x), do quarto grau, que tenha como raízes a², b², c² e d².

  1. x4 + 12x³ + 40x² + 8x + 4
  2. x4 + 12x³ + 20x² + 4x + 4
  3. x4 + 16x³ + 16x² + 10x + 4
  4. x4 + 40x² + 4x + 4
  5. x4 + 36x² + 16x + 4

12. (ITA) Um Polinômio P(x), dividido por x-1 dá resto 3. O quociente desta divisão é então dividido por x-2, obtendo-se resto 2. O resto da divisão de P(x) por (x-1).(x-2) será?

  1. 3x+2
  2. 3x-1
  3. 2x+1
  4. 4-x
  5. nda

13. (ITA) Determine os valores de a e b, tais que os polinômios x³ – 2ax² + (3a + b)x – 3b e x³ – (a + 2b)x + 2a sejam divisíveis por x + 1.

  1. a = 0 b = -3
  2. a = 3 b = -4
  3. a = 4 b = -2
  4. a = 5 b = -1
  5. a = 1 b = -7

14. (ITA) Sabendo-se que o polinômio P(x) = ax³ + bx2 + 2x − 2 é divisível por (x + 1) e por (x − 2), podemos afirmar que:

  1. a e b têm sinais opostos e são inteiros.
  2. a e b têm o mesmo sinal e são inteiros.
  3. a e b têm sinais opostos e são racionais não inteiros.
  4. a e b têm o mesmo sinal e são racionais não inteiros.
  5. somente a4 é inteiro

15. (ITA) Se a é a hipotenusa e b e c são os catetos de um triângulo retângulo, então o que podemos afirmar sobre as raízes da equação a²x² – b²x – c² = 0.

  1. são iguais
  2. uma é igual a – 1 é a outra está entre 0 e 1.
  3. uma é igual a 1 e a outra está entre 0 e 2.
  4. uma é igual a 1 e a outra está entre – 1 e 0.
  5. são dois números racionais

16. (ITA) Seja P(x) um polinômio de grau 5, com coeficientes reais, admitindo 2 e i como raízes.

Se P(1)P(−1) < 0, então o número de raízes reais de P(x) pertencentes ao intervalo ] − 1, 1[ é:

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

17. (ITA) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x² − 63x + c, numa diferença de dois cubos

(x + a)³ − (x + b)³.

Neste caso, | a + |b| − c | é igual a:

  1. 104
  2. 114
  3. 124
  4. 134
  5. 144
.