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Números Complexos

Lista de 11 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema Números Complexos com questões do ITA/IME.



1. (ITA 2019) Sabe-se que -2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a

  1. 4 (√3 + 1)
  2. 6√3
  3. 8 (√3 - 1)
  4. 10√3
  5. 12√3

2. (ITA 2018) As raízes do polinômio 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 + z7 , quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja área é

  1. √2-1 2
  2. √2+1 2
  3. √2
  4. 3√2+1
  5. 3√2

3. (ITA 2017) O lugar geométrico dos pontos (a, b) ∈ R² tais que a equação, em z ∈ C,

z² + z + 2 − (a + ib) = 0

possua uma raiz puramente imaginária é

  1. uma circunferência.
  2. uma parábola.
  3. uma hipérbole.
  4. uma reta.
  5. duas retas paralelas.

4. (IME 2016) Sejam Z1 e Z2 números complexos tais que Z2 é imaginário puro e |Z1 − Z2|=| Z2| . Para quaisquer valores de Z1 e Z2 que atendam a essas condições tem-se que:

  1. Im(Z2) > 0
  2. Im(Z2) ≤ 0
  3. Z1| ≤ 2 | Z2|
  4. Re(Z1) ≥ 0
  5. Re(Z1) ≤ Im(Z2)

5. (ITA 2016) Considere as afirmações a seguir:

I. Se z e w são números complexos tais que z−iw = 1−2i e w−z = 2+3i, então z²+w² = −3+6i.

II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 2|z|² + z² = 4 + 2i é igual a zero.

III. Se z = 1 − i, então z59 = 229(−1 + i).

É (são) verdadeira(s)

  1. apenas I.
  2. apenas I e II.
  3. apenas I e III.
  4. apenas II e III.
  5. I, II e III.

6. (ITA 2016) Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por p(z) = z4 + (2 + i)z³ + (2 + i)z² + (2 + i)z + (1 + i). Podemos afirmar que

  1. nenhuma das raízes de p é real.
  2. não existem raízes de p que sejam complexas conjugadas
  3. a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 + √2
  4. o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2√2
  5. o módulo de uma das raízes de p é igual a √2

7. (ITA 2015) Se Z = ( 1 + 3 i 1 - 3 i ) 10 , então o valor de

2 arcsen (Re(z)) + 5 arctg(2 Im(z)) é igual a

  1. - 2√ 3
  2. - 3
  3. 2√ 3
  4. 4√ 3
  5. 5√ 3

8. (ITA 2014) Se z ∈ C, então z6 − 3 |z|4 (z² − z² )−z6 é igual a

  1. (z² − z²)³.
  2. z6 − z6.
  3. (z³ − z³)².
  4. (z − z)6.
  5. (z − z )²(z4 − z4).

9. (IME 2013) Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade |z - 26i| ≤ 10, sejam a1 e a2 os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de |a1− a2| é

  1. π - tan-1 ( 5 12 )
  2. 2.tan-1 ( 5 13 )
  3. tan-1 ( 5 13 )
  4. 2.tan-1( 5 12 )
  5. 2.tan-1( 12 5 )

10. (ITA 2013) Considere a equação em C, (z − 5 + 3 i)4 = 1. Se z0 é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o valor de |z0| é

  1. √29
  2. √41
  3. 3√5
  4. 4√3
  5. 3√6

11. (IME 2012) Seja o número complexo z = α ib(1+ib)² , onde a e b são números reais positivos e i = √1. Sabendo que o módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e (–π) rd, o valor de a é

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 0
  4. 2
  5. 4
.