Home > Banco de questões > Matemática > ITA >

Geometria Espacial

Lista de 23 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema Geometria Espacial com questões do ITA/IME.



1. (ITA 2019) A superfície lateral de um cone circular reto corresponde a um setor circular de 216°, quando planificada. Se a geratriz do cone mede 10 cm, então a medida de sua altura, em cm, é igual a

  1. 5.
  2. 6.
  3. 7.
  4. 8.
  5. 9.

2. (ITA 2019) Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5 cm e de um cilindro de altura 11 cm formam nessa ordem uma progressão aritmética. O tronco de cone é obtido por rotação de um trapézio retângulo, de altura 4 cm e bases medindo 5 cm e 9 cm, em torno de uma reta passando pelo lado de menor medida. Então, o raio da base do cilindro é, em cm, igual a

  1. 2√2
  2. 2√3
  3. 4
  4. 2√5
  5. 2√6

3. (ITA 2018) Considere a classicação: dois vértices de um paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. Um tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um paralelepípedo de arestas 3 cm, 4 cm e 5 cm. Se o tetraedro tem suas arestas opostas de mesmo comprimento, então o volume do tetraedro é, em cm3:

  1. 10
  2. 12
  3. 15
  4. 20
  5. 30

4. (IME 2017) Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua área total é de 28cm².

Calcule o valor da diagonal do referido prisma.

  1. √17 cm
  2. √19 cm
  3. √21 cm
  4. 2√7 cm
  5. √29 cm

5. (ITA 2017) Considere a reta r: y = 2x. Seja A = (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é

  1. 9 5
  2. 12 5
  3. 18 5
  4. 21 5
  5. 24 5

6. (IME 2016) Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos perímetros das bases é 36 cm, a soma das áreas das bases é 30√3 cm2 e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide.

  1. 50cm³
  2. 42 √3 3 cm³
  3. 43 √3 2 cm³
  4. 43√2cm³
  5. 42√3cm³

7. (ITA 2016) Uma esfera S1, de raio R > 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S2, de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera S1 e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a

  1. πR 5 3r(R - r)
  2. 2πR 5 3r(R - r)
  3. πR 5 r(R - r)
  4. 4πR 5 3r(R - r)
  5. 5πR 5 3r(R - r)

8. (ITA 2015) Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de

  1. 2 3 - h
  2. 2 3 - 1
  3. ( 2 3 - 1 )
  4. h
  5. h 2

9. (ITA 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0, 25 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o lado AB mede π 2 + 1 2 π , o volume desse sólido, em cm³, é igual a

  1. 9 16
  2. 13 96
  3. 7 24
  4. 9 24
  5. 11 96

10. (IME 2014) Em um prisma oblíquo ABCDEFA’B’C’D’E’F’, cuja base ABCDEF é um hexágono regular de lado &, a face lateral EFF’E’ está inclinada 45° em relação à base, e a projeção ortogonal da aresta F’E’ sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do prisma é:

  1. 3 3 2 a 3
  2. 9 4 a 3
  3. 5 3 3 a 3
  4. 9 2 a 3
  5. 5 2 a 3

11. (IME 2013) Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que

  1. √5
  2. √7
  3. √11
  4. √13
  5. √17

12. (ITA 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz 2 3 3 cm é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha o mesmo volume de um cubo de aresta ( π 243 ) 1 / 3 cm, é necessário que a distância do plano à base do cone original seja, em cm, igual a

  1. 1 4
  2. 1 3
  3. 1 2
  4. 2 3
  5. 3 4

13. (ITA 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120° e área igual a 3π cm². A área total e o volume deste cone medem, em cm² e cm³, respectivamente

  1. 4π e 2 π 2 3
  2. 4π e π 2 3
  3. 4π e π 2
  4. 3π e 2 π 2 3
  5. π e 2π 2

14. (ITA 2011) Considere as afirmações:

I − Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a = 120°.

II − Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30°, 45°, 50°, 50° e 170°.

III − Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices.

IV − A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880°.

Destas, é(são) correta(s) apenas

  1. II.
  2. IV.
  3. II e IV.
  4. I, II e IV.
  5. II, III e IV.

15. (ITA 2010) Um cilindro reto de altura √6 3 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm; o volume do cilindro, em cm³, é igual a

  1. π 3 4
  2. π 3 6
  3. π 6 6
  4. π 6 9
  5. π 3

16. (ITA 2011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede 10 3 √3 cm. Então o raio da esfera, em cm, é igual a

  1. 10 3 √3
  2. 13 3
  3. 15 4
  4. 2√3
  5. 10 3

17. (ITA 2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distância 2√3 cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm³.

  1. 416 9 π
  2. 480 9 π
  3. 500 9 π
  4. 512 9 π
  5. 542 9 π

18. (ITA 2009) Os pontos A = (3; 4) e B = (4; 3) s]ao vértices de um cubo, em que AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a

  1. √8
  2. 3
  3. √12
  4. 4
  5. √18

19. (ITA 2008) Um diedro mede 120°. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4√3πcm³ que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a

  1. 3√3
  2. 3√2
  3. 2√3
  4. 2√2
  5. 2

20. (ITA) Cortando-se uma pirâmide regular de altura h, com um plano paralelo à base, resulta uma segunda pirâmide. Se a razão entre as áreas das superfícies laterais das pirâmides (menor/maior) for r, a que distância do vértice deve passar o plano?

  1. h 2 r
  2. h r
  3. r h
  4. r h
  5. hr

21. (ITA) Cortando-se um determinado prisma triangular, reto, por um plano α que forma um ângulo de 45o com o plano da base ABC observamos que a reta r, interseção de α com o plano da base, dista 7 cm de A, 5 cm de B e 2 cm de C. Se a área da base for 21 cm2, o volume do tronco de prisma compreendido entre a base ABC e o plano α será:

  1. 105 cm3
  2. 294 cm3
  3. 98 cm3
  4. 98 2 cm 3
  5. 98 2 cm 3

22. (ITA) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (sen x) cm e (cos x) cm. Um estudante calculou o volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa, e obteve como resultado π cm3. Considerando este resultado como certo, podemos afirmar que:

  1. x = π 6
  2. x = π 3
  3. x = π 4
  4. x = π 5
  5. N.D.R.A.

23. (ITA) Um poliedro convexo tem exatamente 6 vértices e exatamente 12 arestas.

Considere as afirmativas:

I – O número de faces é igual a 8;

II – O número de faces quadrangulares é igual ao número de faces triangulares;

III – Todas as faces do poliedro são triangulares;
IV – Todas as faces do poliedro são quadrangulares;

Assinale a alternativa correta.

  1. Somente a afirmativa I é correta.
  2. Somente as afirmativas I e II são corretas.
  3. Somente as afirmativas I e III são corretas.
  4. Somente as afirmativas I e IV são corretas.
  5. Todas as afirmativas estão erradas.
.