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Funções

Lista de 13 exercícios de Matemática com gabarito sobre o tema Funções com questões do ITA/IME.



1. (IME 2018) Definimos a função f: ℕ ⟶ ℕ da seguinte forma:

Definimos a função g: ℕ ⟶ ℕ da seguinte forma: g(n) = f(n) f(n + 1).

Podemos afirmar que:

  1. g é uma função sobrejetora.
  2. g é uma função injetora.
  3. f é uma função sobrejetora.
  4. f é uma função injetora.
  5. g tem mais do que 4 divisores positivos.

2. (ITA 2018) Considere as funções f, g : ℜ → ℜ dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d ∈ ℜ, a ≠ 0 e c ≠ 0. Se f−1 ◦ g−1 = g−1 ◦ f−1 , então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada por

  1. b + ad = d + bc.
  2. d + ba = c + db.
  3. a + db = b + cd
  4. b + ac = d + ba.
  5. c + da = b + cd.

3. (ITA 2017)

Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X ⊂ Y e X 6 = Y. Considere as seguintes afirmações:

I. Existe uma bijeção f : X → Y.

II. Existe uma função injetora g : Y → X.

III. O número de funções injetoras f : X → Y é igual ao número de funções sobrejetoras g : Y → X.

É (são) verdadeira(s)

  1. nenhuma delas.
  2. apenas I.
  3. apenas III.
  4. apenas I e II.
  5. todas.

4. (ITA 2013) Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por

  1. g ◦ f(1) = ln 3.
  2. ∄ g ◦ f(0).
  3. g ◦ f nunca se anula.
  4. g ◦ f está definida apenas em {x ∈ R : x > 0}.
  5. g ◦ f admite dois zeros reais distintos.

5. (ITA 2013) Considere funções f, g, f + g : R → R. Das afirmações:

I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;

II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;

III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;

IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,

é (são) verdadeira(s)

  1. nenhuma.
  2. apenas I e II.
  3. apenas I e III.
  4. apenas III e IV.
  5. todas.

6. (ITA 2014)

I. Se x, y ∈ R \ Q, com y ≠ – x, então x + y ∈ R \ Q;

II. Se x ∈ Q e y ∈ R \ Q , então xy ∈ R \ Q;

III. Sejam a, b, c ∈ R, com a < b < c. Se f:[a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora, é (são) verdadeira(s)

  1. penas I e II.
  2. apenas I e III.
  3. apenas II e III.
  4. apenas III.
  5. nenhuma.

7. (ITA 2018) Considere as funções f, g : R → R dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a,b,c,d ∈ R , a ≠ 0 e c ≠ 0. Se f-1 o g-1 = g-1o f-1, então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada

  1. b + ad = d + bc.
  2. d + ba = c + db.
  3. a + db = b + cd.
  4. b + ac = d + ba.
  5. c + da = b + cd.

8. (ITA) Considere as seguintes função: f(x) = x – 7/2 e g(x) = x2 – 1/4 definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação |(gof)(x)| > (gof)(x), podemos afirmar que:

  1. Nenhum valor de x real é solução.
  2. Se x < 3 então x é solução.
  3. Se x > 7/2 então x é solução.
  4. Se x > 4 então x é solução.
  5. Se 3 < x < 4 então x é solução.

9. (ITA) Se f(x) = ax2 – c satisfaz – 4 ≤ f(1) ≤ – 1 e – 1 ≤ f(2) ≤ 5, então:

  1. 7 ≤ f(3) ≤ 26
  2. – 1 ≤ f(3) ≤ 20
  3. – 4 ≤ f(3) ≤ 15
  4. 28/3 ≤ f(3) ≤ 35/3
  5. 8/3 ≤ f(3) ≤ 13/3

10. (ITA) Considere g: {a,b,c}{a,b,c} uma função tal que g(a)=b e g(b)=a. Então, temos:

  1. a equação g(x)=x tem solução se, e somente se, g é injetora.
  2. g é injetora, mas não é sobrejetora.
  3. g é sobrejetora, mas não é injetora.
  4. se g não é sobrejetora, então g(g(x)) = x para todo x em {a,b,c}
  5. n.d.r.a.

11. (ITA) Se f(x) satisfaz 2.f(x) + f(1–x) = x2 para todo x, então f(x) = a)

  1. (X2 – 3x + 1)/2
  2. (x2 + 8x – 3)/9
  3. (4x2 + 3x – 2)/6
  4. (x2 + 2x – 1)/3
  5. (x2 + 9x – 4)/9

12. (ITA) Quantas pares ordenados (x,y) , x e y sendo números inteiros, são soluções da inequação: |x|+|y|< 100?

  1. 19801
  2. 19802
  3. 19803
  4. 19804
  5. 1980

13. (ITA) Considere a, b ∈ IR e a equação 2e3x + ae2x + 7ex + b = 0

Sabendo que as três raízes reais x1, x2, x3 desta equação formam, neta ordem, uma progressão aritmética cuja soma é igual a zero, então a - b vale:

  1. 5
  2. - 7
  3. - 9
  4. - 5
  5. 9


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