Geometria Analı́tica II

01. (Enem 2017) O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade V de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p + a) (v + b) = K, com a, b e K constantes.

Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:

O fisioterapeuta analisou a dependência entre v e p na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (p. V). Admita que K > 0.

Disponível em: http://rspb.royalsocietypublishing.org. Acesso em: 14jul2015 (adaptado).

O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo

1. Semirreta oblíqua.
2. semirreta horizontal.
3. ramo de parábola.
4. arco de circunferência.
5. ramo de hipérbole.

02. (Enem 2016) Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas.

A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A.

Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas

1. 3 e C
2. 4 e C
3. 4 e D
4. 4 e E
5. 5 e C

03. (Enem PPL 2015) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.

A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x² + y² – 2x – 4y – 31 ≤ 0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.

Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas

1. A e C.
2. B e C.
3. B e D.
4. A, B e C.
5. B, C e D.

04. (Enem 2016) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado.

Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá

1. diminuir em 2 unidades
2. diminuir em 4 unidades
3. aumentar em 2 unidades.
4. aumentar em 4 unidades.
5. aumentar em 8 unidades.

05. (Enem 2016) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam expostos a riscos de acidentes. Essa região está representada pela porção de cor cinza (quadrilátero de área S) na figura.

Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área isolada, cartazes informativos serão afixados por toda fábrica. Para confeccioná-los, um programador utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de um conjunto de desigualdades algébricas.

As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da região de isolamento, são

1. 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9
2. 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8
3. 3y – x ≥ 0; 2y – x ≤ 0; y ≤ 9; x ≤ 8
4. 4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9
5. 4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8

06. (Enem 2015) A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e b são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical.

Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab².

O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado por

1. 8b³
2. 6b³
3. 5b³
4. 4b³
5. 2b³

07. (Enem 2015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.

Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.

De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são

1. (290 ; 20).
2. (410 ; 0).
3. (410 ; 20).
4. (440 ; 0).
5. (440 ; 20).

08. (Enem 2009) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d≤ sobre a circunferência.

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por

1. $1\left(-sen\frac{d}{r}\right)$
2. $1\left(-cos\frac{d}{r}\right)$
3. $1\left(-tg\frac{d}{r}\right)$
4. $rsen\left(\frac{r}{d}\right)$
5. $rcos\left(\frac{r}{d}\right)$

09. (Enem 2013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

(I) é a circunferência de equação x² + y² = 9;

(II) é a parábola de equação y = −x² − 1, com x variando de -1 a 1;

(III) é o quadrado formado pelos vértices (-2, 1), (-1, 1), (-1, 2) e (-2, 2);

(IV) é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);

(V) é o ponto (0, 0).

A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

10. (Enem 2016) Na figura estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: C1, (de raio 3 e centro O1,) e C2 (de raio 1 e centro O2), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q.

Nessas condições, a equação da reta t é

3. y = −x + 4

11. (Enem PPL 2016) Em sua vez de jogar, um jogador precisa dar uma tacada na bola branca, de forma a acertar a bola 9 e fazê-Ia cair em uma das caçapas de uma mesa de bilhar. Como a bola 8 encontra-se entre a bola branca e a bola 9, esse jogador adota a estratégia de dar uma tacada na bola branca em direção a uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater, eIa saia em uma trajetória retilínea, formando um ângulo de 90º com a trajetória da tacada, conforme ilustrado na figura.

Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar a bola 9. Considere um sistema cartesiano de eixos sobre o plano da mesa, no qual o ponto de contato da bola com a mesa define sua posição nesse sistema. As coordenadas do ponto que representa a bola 9 são (3 ; 3), o centro da caçapa de destino tem coordenadas (6 ; O) e a abscissa da bola branca e 0,5, como representados na figura. Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição original da bola branca era

1. 1,3.
2. 1,5.
3. 1.
4. 2,2.
5. 2,5.